在投资领域，有一个公式因其独特的洞察力而备受关注：凯利公式。这个由John R. Kelly, Jr.于1956年提出的数学模型，为投资者提供了一个强大的工具，用于确定每次投资中的最佳资金分配比例，以实现长期收益的最大化。

凯利公式的核心思想

凯利公式的核心思想非常直观：在每次投资中，存在一个最佳的资金投入比例，如果我们能够找到并坚持这个比例，就能在长期内获得最大的收益增长率。

数学表达式如下：

其中：

• $f^*$：最佳的投资比例
• $b$：获胜时的赔率（不包括本金）
• $p$：赢的概率
• $q = 1 - p$：输的概率

凯利公式的应用示例

1. 简单的投资机会

假设有一个投资机会，成功时的回报率为 2:1（即 $b = 2$），成功概率为 40%（即 $p = 0.4$）。根据凯利公式：

这意味着，对于这个投资机会，我们应该投入总资金的 10% 来获得最佳的长期增长率。

2. 股票投资示例

考虑一支股票，分析师预测其在下个季度有 60% 的概率上涨 20%，40% 的概率下跌 10%。我们可以这样应用凯利公式：

• $p = 0.6$
• $b = 0.2 / 0.1 = 2$（潜在收益除以潜在损失）

凯利公式建议我们应该投入总资金的 40% 到这支股票上。

最佳投资比例的推导

假设我们有初始资金 $x$，投资成功的回报率为 $b$（不包括本金），成功概率为 $p$。如果我们投资比例为 $f$，那么我们的资金的期望值为：

然而，直接最大化期望值可能导致过度冒险。凯利准则建议我们应该最大化资金的对数期望值，这样可以在长期内获得最大的几何增长率。因此，我们的目标函数变为：

由于 $\log(x)$ 是常数，不影响最大化过程，我们可以忽略它。为了找到最优的投资比例 $f^*$，我们对简化后的函数求导，并令其为零：

解这个方程，我们得到：

这就是凯利公式，它给出了在给定条件下的最优投资比例。

一段逸事

关于凯利公式还有一个很知名的故事，传奇投资大师爱德华·索普（Edward Oakley Thorp）¹曾用它在赌场玩二十一点游戏，并赢得了大量的赌金，也因此被各大赌场拒之门外，以至于Ed Thorp不得不乔装打扮才能进入赌场。索普后来将自己打败21点的策略写成了一本书《击败庄家》（英文《Beat the dealer》），公开出版发行后，内华达州的赌场因此被迫修改了规则。

凯利公式的优缺点

凯利公式就像是投资界的双刃剑，用得好可以大幅提高收益，用不好就是一管自我安慰剂。

优势在于它提供了一个明确的资金管理策略，简单不烧脑。长期来看，能够最大化资金增长率，并且有助于控制风险，避免过度投资。

但缺点也是显而易见的。首先它假设民，投资者能够准确估计投资的概率和回报，这在现实中往往很困难，而且通常是不可能的，比如股市中一只股票的走势。此外，也没有考虑投资者的风险承受能力，对于风险厌恶的投资者可能过于激进。短期内可能导致较大的资金波动。

实际应用中的注意事项

1. 半凯利策略：由于凯利公式可能导致较高的风险，许多投资者选择使用"半凯利"策略，即只投入凯利公式建议金额的一半。

2. 准确估计至关重要：凯利公式的效果严重依赖于对投资机会的准确评估。过于乐观的估计可能导致过度投资。

3. 定期重新评估：市场条件和投资机会持续变化，需要定期重新计算最佳投资比例。

4. 分散投资：不要将所有资金都押注在单一的投资机会上，保持适度的多元化。

结论

凯利公式为投资者提供了一个强大的资金管理工具，但它并非万能的解决方案。成功的投资策略需要结合凯利公式的洞见、深入的市场分析、健康的风险管理，以及对自身投资目标和风险承受能力的清晰认识。